Fondamenti della meccanica atomica
uguale ad un numero intero (1) Adoperiamo questa lettera per conformarci all'uso ormai universale, sebbene m, indichi pure la massa della particella. m
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(1) Adoperiamo questa lettera per conformarci all'uso ormai universale, sebbene m, indichi pure la massa della particella.
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dove si è scritto l'esponente senza doppio segno, con l'intesa che m possa essere positivo, nullo o negativo: l'intero m (col segno) si chiama
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Funzioni associate di Legendre. Passiamo ora a considerare la (235) senza la restrizione m= 0: essa si scrive, tenendo conto della (225),
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intervengono nella meccanica atomica (diamo ad m solo i valori 0, 1, 2,...: per avere le funzioni corrispondenti a valori negativi di m, non c'è che da
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Aggiungeremo poi, anticipando un risultato che verrà dimostrato nella parte III, che il quanto azimutale l ed il quanto magnetico m hanno il seguente
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Si osservi che, sebbene la u venga a dipendere da tre numeri quantici (n, l, m) i livelli energetici dipendono da due soli di essi, poichè il quanto
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Osserviamo che due autofunzioni corrispondenti a valori di m uguali e di segno contrario differiscono solo per il segno dell'esponente e quindi sono
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corrispondente ai numeri quantici n, l, m:
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l = 0 (ed m = 0).
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si trova che esso (quando siano già soddisfatte le regole di selezione per m ed l) non si annulla mai. Cosicchè il salto del quanto totale n può essere
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(1) Adottiamo provvisoriamente per il quanto magnetico la notazione m* per evitare confusione con la massa elettronica m: in seguito, quando non vi
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per il quanto magnetico la notazione m* per evitare confusione con la massa elettronica m: in seguito, quando non vi sia ragione di equivoco
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al quanto magnetico m della teoria ondulatoria introdotto al § 46).
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(1) Nella antica teoria si usava invece escludere il valore m* = 0, per motivi analoghi a quelli che facevano escludere k = 0. il risultato non era
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Sommerfeld non dà nessuna soddisfacente giustificazione (1) Nella antica teoria si usava invece escludere il valore m* = 0, per motivi analoghi a quelli che
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vicinissimi, corrispondenti ai diversi valori di k e di m*.
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elettrone di massa m rispetto al nucleo di massa M, è retto dalle stessse equazioni del moto, rispetto ad un nucleo fisso, di un corpuscolo di massa
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) salvo la sostituzione di m con m' (1) Si osservi che ha ancora il significato di momento angolare totale del sistema: perciò il quanto azimutale k
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Anche le condizioni di Sommerfeld si ottengono da quelle relative al nucleo fisso semplicemente sostituendovi m con m': ciò si riconosce nel modo più
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, dipendendo da M, è leggermente diversa per i diversi sistemi idrogenoidi: si trova p. es.
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(1) L'energia viene a dipendere da m quando l'atomo si trova in un campo magnetico di intensità sufficiente a perturbare il moto: si produce allora
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Se per h, m, c si pongono i loro valori numerici, si trova
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corpo non più di massa m, ma di una massa M uguale alla massa dell'atomo, cioè alcune migliaia di volte più grande. Il ragionamento precedente varrà
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È evidente che valgono per gli operatori gli ordinari teoremi sulle potenze, p. es. = (n, m interi, positivi, nulli o negativi), ecc.
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Gli elementi di questa matrice si possono calcolare, osservando che rappresenta la componente m-esima del vettore e quindi (v. form. (8)):
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indici m e n figurano nello stesso ordine nei due membri, e l'indice di sommatoria resta in mezzo ad essi).
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Ma, per la regola di moltiplicazione, questo non è che l'elemento (m, n) della matrice , ossia, per la (38), : quindi scriveremo
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Prendendo il coniugato della seconda sommatoria e scambiando tra loro gli indici m ed n, si riconosce che, in virtù della (46 '), questa sommatoria
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ossia, uguagliando l'elemento generico (m, k) nei due membri,
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Fissiamo k, e diamo ad m i successivi valori 1, 2, ...: avremo le equazioni
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coordinate: sia poi M la massa del nucleo, m quella dell'elettrone. L'hamiltoniana classica è
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sostituzione della massa m con la m' (leggermente inferiore): la dunque coinciderà con la della teoria svolta al § 46, P. II, purchè si sostituisca la massa
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(m' prende il nome di massa ridotta). Corrispondentemente la potrà spezzarsi (v. § 20) nel prodotto
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Quanto all'operatore , esso è quello che si presenta nel moto di una particella di massa M + m non soggetta a forze: la è dunque un'autofunzione del
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: ma affinchè abbia un sol valore in ogni punto dello spazio, essa deve essere periodica in a periodo : quindi dovrà aversi con m intero, ossia
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Consideriamo ora l'osservabile M, modulo del momento angolare della particella rispetto all'origine. Classicamente si ha : perciò assumeremo come
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autovalori sono, come si è visto, con . Perciò i valori che può assumere l'osservabile M, momento dell'impulso, sono dati da
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moltiplicate per m. Una particella ferma in un campo magnetico ha momenti diversi da zero.
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velocità moltiplicate per m. Una particella ferma in un campo magnetico ha momenti diversi da zero.
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difatti, come si è accennato al § 32, p. II, la radiazione emessa (o assorbita) nel passaggio dallo stato m allo stato n corrisponde qualitativamente
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Prendiamo il caso di un oscillatore armonico, di massa m e forza di richiamo — Kx, trattato con la meccanica ondulatoria al § 39, p. II, e
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. Phys. Acta, 7 (1934), p. 709; M. BORN, Proc. Roy. Soc., 143 (1934), p. 410; M. BORN e L. INFELD, Proc. Roy. Soc., 144 (1934), p. 425; V. WEISSKOPF
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sferica di superficie (i cui indici l e m rappresentano rispettivamente il quanto azimutale e quello magnetico dell'elettrone), tentiamo di soddisfare
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Si noti che una soluzione della forma qui considerata può esistere solo per m compreso tra ed l (estremi inclusi), altrimenti vi figurerebbero dei
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forma può esistere solo per m compresa fra — l ed a — 1, estremi inclusi: inoltre, essa manca se l = 0, poichè non esistono funzioni sferiche con
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che ha la stessa forma della formula (11) rappresentante la serie di Balmer e le analoghe. Ma ciò che è più notevole è che, inserendo per e, m, h i
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(1) Essi sono detti: quanto totale n, quanto azimutale l, quanto magnetico m. L'ultimo non ha influenza sull'energia, eccetto il caso dell'effetto
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La massa risulta circa 1837 volte più piccola della massa dell'atomo di idrogeno. Per velocità elevate si è constatato che il rapporto e/m decresce
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Carica: e = [numero eliminato] u. e. s. = [numero eliminato] u. e. m.
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Accademia della crusca
